设置带宽配置 PI 参数

前言

  此篇文章是对前文中带宽设计 快速估算部分的补充，
  有许多的伺服驱动器在调试PID参数时，调整的参数的单位是Hz，而不是常规的kp、Ki， 不清楚驱动器内部是怎么处理的。大部分驱动器都不会把电流环参数接口留出来，都是根据电机参数和 驱动器的设置自动处理的。
  不过原理应该是差不多的，调试的是控制环路的带宽。

带宽配置 PI 参数

  电流环的交叉耦合项和反电动势通过补偿，可以简化电机在DQ坐标系下的数学模型，可以简化为RL电路。
  传递函数为：

\[G(s)=\frac{i_q}{u_q}=\frac{1}{L_s+R_s} \tag{1}\]

  $L_s$ 对于 d 轴是 $L_d$，对于 q 轴是$L_q$ 。
  加上PI控制器，开环传递函数为：

\[G(s)H(s)=\frac{K_p(\tau s+1)}{\tau s}\cdot\frac{1}{(L_s+R_s)} \tag{2}\]

  其中，$K_p$ 是比例增益，$\tau=\frac{K_p}{K_i}$ 是控制器的积分时间常数。

  仍然使用零极对消法，令：

\[\tau=\frac{L_s}{R_s} \tag{3}\]

  代入到开环传递函数(2)后化简得：

\[G(s)H(s)=\frac{K_p}{L{s}}\cdot(L_s+R_s)\cdot\frac{1}{(L_s+R_s)}=\frac{K_p}{L_ss} \tag{4}\]

  由开环传递函数得闭环传递函数为：

\[G_{cl}(s)=\frac{G(s)H(s)}{1+{G(s)H(s)}}=\frac{\frac{K_p}{L_ss}}{1+\frac{K_p}{L_ss}}=\frac{1}{1+\frac{L_s}{K_p}s} \tag{5}\]

  这是一个标准的一阶系统，带宽直接由 $\frac{K_p}{L_s}$ 决定。
  从闭环传递函数可得时间常数为：

\[\tau_c=\frac{L_s}{K_p} \tag{6}\]

  带宽 $\omega_c(rad/s)=\frac{1}{\tau_c}$：

\[f_c(Hz)=\frac{1}{2\pi\tau_c}=\frac{1}{2\pi\cdot\frac{L_s}{K_p}}=\frac{K_p}{2\pi L_s} \tag{7}\]

  变换一下形式得：

\[K_p=2\pi f_cL_s \tag{8}\]

  由公式(3)和控制器的积分时间常数 $\tau=\frac{K_p}{K_i}$ 可推导出：

\[K_i= \frac{K_p}{\tau}=\frac{2\pi f_cL_s}{\frac{L_s}{R_s}}={2\pi f_c}{R_s} \tag{8}\]