SPMSM 的 FOC 初始 PID 参数参考
SPMSM 数学模型
PMSM电机 \(dq\) 方程
\(d\) 轴电压方程
\[u_d=R_si_d+L_d\frac{di_d}{dt}-\omega_eL_qi_q\]\(q\) 轴电压方程
\[u_q=R_si_q+L_q\frac{di_q}{dt}+\omega_eL_di_d+\omega_e\psi_f\]电磁转矩方程
\[T_e=\frac{3}{2}n_p[\psi_fi_q+(L_d-L_q)i_di_q]\]对于表贴式永磁同步电机（SPMSM），\(L_d = L_q\)，方程简化为：
\[T_e=\frac{3}{2}n_p\psi_fi_q\]运动方程
\[T_e-T_L=J\frac{d\omega_m}{dt}+B\omega_m\]电流环控制器的设计
本文采用的是 \(i_d = 0\) 的控制方法，由于dq轴电流内环具有对称性和相似的系统特性，下面仅分析 \(q\) 轴电流 PI 调节器的参数整定方法，\(d\) 轴电流 PI 调节器的参数整定和 \(q\) 轴类似。
电流环的控制器输入由电流设定值和电流反馈之间的差值构成，其输出信号则是参考电压。
第一个框图 \(\frac{1}{1+T_S}\) 为系统延时环节，第二个为 PI 控制器，第三个为逆变器延时环节。\(T_s\) 表示电流环的采样周期(可以是PWM基频或更高)，忽略掉动态项 \(𝜔𝜓_f\) 和耦合项 \(𝜔𝐿_𝑑𝑖_𝑑\)（可以使用前馈电流环解耦实现），\(q\)轴的电磁方程可以写成：
由（1）式得电机的传递函数：
\[G_p(s)=\frac{i_q}{u_q}=\frac{1}{L_qs+R_s} \tag{2}\]将PI调节器的传递函数化为零极点的形式为：
\[C(s) = k_{Ip}+\frac{k_{Ii}}{s}=k_{Ip}\frac{\tau_{I}s+1}{\tau_{I}s} ，\tau_I=\frac{k_{Ip}}{k_{Ii}} \tag{3}\]其中 \(k_{Ip}\) 为 PI 控制器的比例系数，\(k_{Ii}\) 为 PI 控制器的积分系数。角标带 \(I\) 表示电流环。 由于\(T_s\)足够小，可以将两个延时环节合并为 \(\frac{1}{1+2T_ss}\) 。
经过PI调节器校正后的电流环开环传递函数为：
令 \(\tau_{I}=\frac{L_{\mathrm{q}}}{R_{\mathrm{s}}}\) (电机电气时间常数) ，使用极点对消法将开环传递函数校正成典型Ⅰ型系统：
\[W_{oi}(s)=\frac{K_{Ip}\left(1+\frac{L_q}{R_s}s\right)}{\frac{L_q}{R_s}s}\frac{1}{(1+2T_ss)R_s\left(1+\frac{L_q}{R_s}s\right)}=\frac{K_{Ip}}{L_qs(1+2T_ss)} \tag{5}\]典型Ⅰ型系统的开环传函为：
\[W(s)=\frac{K}{s(Ts+1)} \tag{6}\]由公式 (5) 和 (6) 可推出：
\[\begin{cases}K=\frac{K_{Ip}}{L_{q}}\\T=2T_{s}&\end{cases} \tag{7}\]由典型Ⅰ型系统动态性能指标参数表，如果没有特殊要求，取 \(𝜉=0.707，𝐾𝑇=0.5\) 。从而有：
\[2T_s\cdot\frac{k_{Ip}}{L_q}=\frac{1}{2} \tag{8}\]由公式 (8) 可推导 PI 控制器参数公式：
\[\begin{cases}k_{Ip}=\frac{L_q}{4T_s}\\k_{Ii}=\frac{k_{Ip}}{\tau_I}=\frac{k_{Ip}}{L_q/R_s}=\frac{R_s} {4T_s}&\end{cases} \tag{9}\]
由公式 (5) 开环传递函数可得出闭环传递函数：
\[G_{oi}(s)=\frac{\frac{K_{Ip}}{L_qs(1+2T_ss)}}{1+\frac{K_{Ip}}{L_qs(1+2T_ss)}}=\frac{K_{Ip}}{2T_sL_qs^2+L_qs+K_{Ip}} \tag{10}\]当具有较高的开关频率时，\(T_s\) 的取值够小，就可以认为 \(s^2\) 的系数为零，并将式 (8) 带入。由此可以得到电流环等效闭环传递函数：
\[G_{oi}(s)=\frac{K_{Ip}}{L_qs+K_{Ip}}=\frac{1}{\frac{L_q}{K_{Ip}}s+1}=\frac{1}{4T_ss+1} \tag{11}\]转数环控制器设计
将负载转矩 \(T_L\) 当作扰动引入，由于粘滞摩擦系数 \(B\) 在实际工程中不容易测量，忽略不计后对控制系统影响较小。由电机数学模型可以得到转速环近似控制框图。
第一个为控制系统延时环节，第二个为转数环 PI 控制器，第三个为电流闭环传递函数 公式(11)。
第四个由电机转矩方程 \(T_\mathrm{e}=\frac{3}{2}n_p\psi_\mathrm{f}i_\mathrm{q}\) 得到。
第五个框图 \(\frac{1}{sJ}\) 由公式 (12) 得到，在 \(s\) 域 \(\omega_m(s)=\frac{1}{Js}\left(T_e(s)-T_L(s)\right)\)（注意角速度是电气角还是机械角，此公式是机械角）。
将控制系统延时和电流环时间常数合并为 \({T}_{\Sigma} = 5T_{s}\)，且先忽略负载转矩，得开环传递函数为：
典型Ⅱ型系统的开环传递函数为：
\[W(s)=\frac{K(\tau s+1)}{s^2(Ts+1)} \tag{14}\]典型II型系统的待定参数有 \(𝐾\) 和 \(\tau_{s}\) 。若要保证系统的稳定需要保证 \(τ>T\)，为了方便分析，引入一个新的变量 \(ℎ_s\) ，其中 \(ℎ_s\) 是斜率为 \(‐20dB/dec\) 的中频段宽度（对数表示），在典型Ⅱ型系统的伯德图中：
低频段：两个积分环节，斜率 -40dB/dec
中频段：由于零点作用，斜率变为 -20dB/dec
高频段：由于极点作用，斜率回到 -40dB/dec
频段的连接位置 \(\frac{1}{\tau}\) 零点转折频率 ，\(\frac{1}{T}\) 惯性环节转折频率，使用单位（rad/s）。
\[h_s=\lg\frac{\omega_2}{\omega_1}=\lg\omega_2-\lg\omega_1=\lg\frac{1}{\text{T}_{\Sigma}}-\lg\frac{1}{\tau_s} \tag{15}\]还有的中频宽定义为 \(h= \frac{\tau}{T} =\frac{\omega_2}{\omega_1}\) ，两个转折频率的比值，是一个无量纲的线性数值。 为保证系统获得最大的稳定裕度，一般将截止频率 \(𝜔_c\) 设置在 \(\frac{1}{\tau_s}\) 和 \(\frac{1}{\text{T}_{\Sigma}}\) 的中点。由此可推出 \(𝜔_c\)：
\[\omega_c = \sqrt{\omega_1 \cdot \omega_2} = \sqrt{\frac{1}{\tau_s} \cdot \frac{1}{T_{\Sigma}}} = \frac{1}{\sqrt{\tau_s T_{\Sigma}}} \tag{16}\]当 \(𝜔 = 1 \text{ rad/s}\) 时，可推出开环增益 \(K\) 。
\[20\lg K=40(\lg\omega_1-\lg1)+20(\lg\omega_c-\lg\omega_1) \tag{17}\] \[20\lg K=20(2\lg\omega_1+(\lg\omega_c-\lg\omega_1))=20(\lg\omega_1+\lg\omega_c)=20\lg(\omega_1\omega_c) \tag{18}\] \[K=\omega_c\omega_1 \tag{19}\]由系统开环传递函数（13）和典型Ⅱ系统开环传递函数（14）可推出：
\[\begin{cases}K=\frac{3}{2}\frac{n_p\psi_fK_p}{J\tau_s}\\T=5T_s&&\end{cases} \tag{20}\]根据典型Ⅱ型系统的参数整定关系可得:
\[\frac{\frac{3}{2}n_p\varphi_fk_{sp}}{J\tau_s}=\frac{h+1}{2h^2(5T_s)^2} \tag{21}\]解出 \(k_{sp}\) ：
\[k_{sp}=\frac{2}{3}\frac{J\tau_s}{n_p\psi_f}\cdot\frac{h+1}{50h^2T_s^2} \tag{21.1}\]代入 \(\tau_s=h\cdot T_\Sigma\) 且 \(T_\Sigma=5T_s\) 得：\(\tau_s=h\cdot5T_s\) ，带入公式（21.1）得：
\[k_{sp}=\frac{2}{3}\frac{J(h\cdot5T_s)}{n_p\psi_f}\cdot\frac{h+1}{50h^2T_s^2}=\frac{2}{3}\cdot\frac{J(h+1)}{10hT_sn_p\psi_f} \tag{21.2}\]计算积分增益 \(k_{si}\) ：
\[k_{si}=\frac{k_{sp}}{\tau_s}=\frac{\frac{2}{3}\cdot\frac{J(h+1)}{10hT_sn_p\psi_f}}{h\cdot5T_s}=\frac{2}{3}\cdot\frac{J(h+1)}{50h^2T_s^2n_p\psi_f} \tag{21.3}\]整理得出转速外环的PI参数为:
\[\begin{cases}K_{sp}=\frac{2}{3}\cdot\frac{J(h+1)}{10hT_sn_p\psi_f}\\K_{si}=\frac{2}{3}\cdot\frac{J(h+1)}{50h^2T_s^2n_p\psi_f}&&&\end{cases} \tag{22}\]
当系统采样周期 \(𝑇_𝑠=0.00005\) 时(PWM基频为20kHz)，\(ω = 2πf\) ，由公式（15）得出第二个转折频率:
\[lg𝜔_2 = lg({2π}\frac{1}{5T_s}) = lg({2π}× 4000) = lg(25132)= 4.40 \tag{23}\]带宽设计 快速估算
系统开环传递函数（PI控制器、等效电流环和负载）：
\[G(s)H(s)=\frac{K_p(\tau s+1)}{\tau s}\times\frac{1}{\text{T}_{\Sigma}s+1}\times\frac{1}{Js} \tag{24}\]将 \(K_p=2πfJ\) 代入公式（24），得：
\[G(s)H(s)=\frac{\omega_x(\tau s+1)}{\tau s^2(T_ss+1)} \tag{25}\]其中 \(\omega_x=2πf\) 。 将式（25）与典型Ⅱ型系统开环传递函数（14）对比，得：\(K=\omega_x/\tau\)。 转折频率\(\omega_1=1/\tau\)。
将 \(K\) 和 \(\omega_1\) 代入公式 (19) \(K=\omega_c\omega_1\) 得：
即 \(\omega_x\) 能反应系统的开环截止频率。